填了離職單之後的請假問題 - 法律

我目前是計時兼職人員，在補習班當老師，最近打算離職，填了離職單，他們說要一個月後才生效，可是我別處另有工作，所以打算在那一個月到之前就離職。我於是腦筋一動，在到期的一個禮拜請事假，請問如果雇主故意 不同意我請假，（其實我也找到老師願意接我的課），這樣合法嗎？
我在想，他會不會用這一招說我未依規定離職，按照合約罰我錢？
P.S. 他們未已規定幫我投勞健保，可以拿這個跟他們談判嗎？ 他們之前在台南的分校就被檢舉過一次了，若再被檢舉，罰則會變更重嗎？
拜託各位了！
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補充一下，我在這家補習班工作滿三個月，但未滿一年。
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根據勞動部的《勞工請假規則 》，我可以請事假，沒說要雇主同意啊！
第 7 條
（事假）
勞工因有事故必須親自處理者，得請事假，一年內合計不得超過十四日。
事假期間不給工資。