有關勞健保加保退保問題 - 法律

各位版大您們好，在下的家父於民國96年之時已經請領了勞保老年一次金的給付，因此辦理了勞保離職退保。
但家父實際上仍然有在工作(仍有報稅跟公司開立的扣繳憑單)，受雇於5人以上的公司，而目前上有疑問的地方是，家父的雇傭公司並未幫家父投保全民健康保險，而是由家父這邊自行於區公所投保，請問家父還在公司服務，即使勞保退保了，健保的部分是否應該仍由該公司義務負責承擔呢???公司這邊沒保健保的部分，是否已經觸法?
另外由於家父是勞力工作者，因此上班危險性比起一般行業之勞工，自是危險許多，請問該公司是否有義務要幫家父負擔職業災害保險的承保部分呢?若無幫家父承擔職業災害保險的部分，是否已經觸法呢?
贅文甚多，叨擾甚久，望請海涵。